Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie by Gernot Stroth

By Gernot Stroth

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Un ) sind gleichwertig: (1) u1 , . . , un sind algebraisch über k. (2) [K : k] ist endlich. (3) k ⊆ K ist algebraisch. 42 Algebraische Erweiterungen Beweis. (1) ⇒ (2): Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach n. 3. Sei also jetzt n > 1. Es ist offenbar K in dem Körper L = k(u1 , . . , un−1 )(un ) enthalten. 5 ist [L : k] = [k(u1 , . . , un−1 )(un ) : k(u1 , . . , un−1 )] · [k(u1 , . . , un−1 ) : k]. Per Induktion folgt jetzt die Behauptung. 2. (3) ⇒ (1): Per Definition ist in einer algebraischen Erweiterung jedes Element algebraisch.

Weiter hat jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen. Ist |k| = ∞, so gilt |k| ≤ |K| ≤ ℵ0 |k[x]| = |k[x]| = |k|. ¯ < ∞, so betrachten wir Ist |k| < ∞, so ist |K| ≤ ℵ0 . Wäre |k| f = (x − a) + 1. ¯ a∈k ¯, ein Widerspruch. Also ist |k| ¯ = ℵ0 . 24. Jeder Körper k hat einen algebraischen Abschluss. Beweis. Das Problem bei diesem Beweis ist, dass man nicht einfach die Menge aller algebraischen Erweiterungen von k betrachten und darin eine maximale suchen kann, da dies vielleicht gar keine Menge ist.

Wir betrachten wieder K als k-Vektorraum. Für u ∈ K , u algebraisch über k, definieren wir die lineare Abbildung αu von K mit αu v = uv für v ∈ K. Dann ist das Minimalpolynom von αu im Sinne der Linearen Algebra genau mu . 6. Für eine endlich erzeugte Erweiterung K = k(u1 , . . , un ) sind gleichwertig: (1) u1 , . . , un sind algebraisch über k. (2) [K : k] ist endlich. (3) k ⊆ K ist algebraisch. 42 Algebraische Erweiterungen Beweis. (1) ⇒ (2): Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach n.

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