Analyse empirischer und experimenteller Daten: Ein kompakter by Siegmund Brandt

By Siegmund Brandt

Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.

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2 zeigt das Ergebnis der Anpassung, das nach 9 Iterationsschritten erreicht wurde. 5 Allgemeinster Fall kleinster Quadrate. Beispiel 27 Abb. 5 Allgemeinster Fall kleinster Quadrate. Beispiel In den Abschn. 3 hatte die Funktion fj die Form fj = ηj − h(x). Die „wahren“ Werte ηj der Messungen traten als isolierter linearer Term auf. Im allgemeinsten Fall sind die n Größen η und die r unbekannten Parameter x durch m Bedingungsgleichungen fk (x, η) = 0 , k = 1, 2, . . , m miteinander verknüpft. Der Name dieser rührt daher, dass die einzelnen ηj nicht mehr unabhängig voneinander sind, sondern Bedingungen zwischen ihnen bestehen können, wie im nachfolgenden Beispiel.

3 Indirekte Messungen. 3 25 Indirekte Messungen. Nichtlinearer Fall Im Allgemeinen hängt die anzupassende Funktion nicht nur linear von den unbekannten Parametern ab. Wir haben dann die Ausgangsgleichungen fj (x, η) = ηj − hj (x) = 0 , j = 1, 2, . . , n . Wir können diesen Fall jedoch auf den linearen zurückführen, wenn wir die fj nach Taylor entwickeln und die entstandene Reihe nach dem ersten Glied abbrechen. Wir führen die Reihenentwicklung an dem „Punkt“ x0 = (x10 , x20 , . . , xr0 ) durch, der eine erste Näherung der Unbekannten darstellt, die man sich auf irgendeine Weise verschafft hat, fj (x, η) = fj (x0 , η) + Definieren wir jetzt ∂fj ∂x1 (x1 − x10 ) + · · · + x0 ⎛ x1 − x10 ∂fj ∂xr (xr − xr0 ) .

Wir begnügen uns hier mit der Angabe einer Beispielaufgabe und ihrer Lösung. Es sei eine Anzahl von Messpunkten (ti , si ) in der (t, s)-Ebene gegeben. Jeder Punkt habe die Messfehler ti , si . Die Fehler können korreliert sein. Die Kovarianz zwischen den Messfehlern ti und si sei ci . Gesucht ist die an die Messungen angepasste Gerade. Wir treffen jetzt eine Zuordnung der ti , si zum n-Vektor y unserer Messgrößen: y1 = t1 , y2 = s1 , . . , yn−1 = tn/2 , yn = sn/2 . 28 4 Die Methode der kleinsten Quadrate Abb.

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